Pravděpodobnost hodu mincí
Šance, že padne panna, je 50 %. A u dalšího hodu zase 50 %, ať padlo předtím cokoli. Tady je všechno ostatní, co o hodu mincí stojí za to vědět.
Jeden hod
Mince má dvě strany a obě mají stejnou šanci. Pravděpodobnost, že padne panna, je tedy 1/2 = 0,5 = 50 %. Pro orla platí totéž. A kdyby mince zůstala stát na hraně, hází se znovu.
Několik hodů za sebou
Každý hod je nezávislý: výsledek jednoho nijak neovlivňuje ten další. Šance na konkrétní řadu výsledků se proto násobí. Dvakrát panna za sebou má šanci 0,5 × 0,5 = 0,25, tedy 25 %.
| Panna tolikrát za sebou | Pravděpodobnost | Přibližně jednou za |
|---|---|---|
| 2× | 25 % | 4 pokusy |
| 3× | 12,5 % | 8 pokusů |
| 4× | 6,25 % | 16 pokusů |
| 5× | 3,125 % | 32 pokusů |
| 6× | 1,5625 % | 64 pokusů |
| 7× | 0,78 % | 128 pokusů |
| 10× | 0,098 % | 1 024 pokusů |
| 20× | 0,000095 % | 1 048 576 pokusů |
Jedna věc často překvapí. Že v pěti hodech padne pětkrát panna, má šanci jen 3,125 %. Ale že se někde ve dvaceti hodech objeví pět stejných výsledků za sebou (pět panen nebo pět orlů), se stane zhruba v každé druhé sérii. Proto série vypadají podezřeleji, než ve skutečnosti jsou.
Klam hazardního hráče
Padlo pětkrát za sebou panna. Musí teď přijít orel? Ne. Šance je znovu 50 %. Mince si nepamatuje, co padlo předtím.
Chyba vzniká tak, že si pleteme dvě otázky. Šance na šest panen v řadě je 1,56 %, ale to platí jen před prvním hodem. Když už pět panen padlo, zbývá jediný hod a ten má 50 %.
Této chybě se říká klam hazardního hráče. Známý je příběh z kasina v Monte Carlu z roku 1913, kde v ruletě padla černá 26× za sebou. Hráči tehdy prosázeli spoustu peněz, protože věřili, že červená už musí přijít.
Zkuste si to sami: na hlavní stránce najdete pod mincí historii posledních hodů. Série stejných výsledků tam uvidíte často.
Zákon velkých čísel
Zákon velkých čísel říká, že čím víc hodů, tím blíž je podíl panen k 50 %. Neříká ale, že se počty panen a orlů srovnají. Rozdíl mezi nimi obvykle naopak roste, jen pomaleji než počet hodů.
| Počet hodů | Typický rozdíl mezi pannami a orly | Podíl panen se typicky liší od 50 % o |
|---|---|---|
| 100 | asi 8 | ±4 % |
| 1 000 | asi 25 | ±1,3 % |
| 10 000 | asi 80 | ±0,4 % |
| 1 000 000 | asi 800 | ±0,04 % |
Po deseti hodech je tedy poměr 7 : 3 úplně běžný. Čísla se ustálí až po stovkách hodů. Pokud vám statistika po dvaceti hodech ukazuje 65 % ku 35 %, mince není rozbitá, dvacet hodů je prostě málo.
Jak férově rozhodnout i nevyváženou mincí
Tohle je hezký trik matematika Johna von Neumanna. Představte si minci, na které panna padá častěji, třeba v 60 % případů. I s ní se dá rozhodnout úplně férově, a nemusíte ani vědět, o kolik je nevyvážená.
Postup:
- Hoďte dvakrát za sebou.
- Padne-li panna a pak orel, platí panna.
- Padne-li orel a pak panna, platí orel.
- Padne-li dvakrát totéž, nepočítá se to a házíte znovu.
Proč to funguje: dvojice panna–orel má šanci 0,6 × 0,4 = 0,24 a dvojice orel–panna 0,4 × 0,6 = také 0,24. Obě dvojice mají vždy stejnou šanci, ať je mince nevyvážená jakkoli. Když ostatní výsledky nepočítáte, zbude férový hod.
Háže se jen o něco déle. U mince 60 : 40 se nepočítá zhruba každá druhá dvojice, takže na jedno rozhodnutí padnou v průměru asi čtyři hody.
Na naší stránce to potřeba není, tady je hod férový sám o sobě. Trik se ale hodí, když házíte skutečnou mincí, které úplně nevěříte.
Jak vybrat z více možností
Mince má dvě strany, ale opakováním zvládne víc možností. Dva hody dají čtyři stejně pravděpodobné výsledky (panna–panna, panna–orel, orel–panna, orel–orel), tři hody osm a čtyři hody šestnáct.
Vybíráte ze čtyř restaurací? Přiřaďte každé jednu dvojici a hoďte dvakrát. U tří možností přiřaďte tři dvojice, a když padne ta čtvrtá, hoďte znovu. Všechny možnosti tak mají stejnou šanci.
A skutečná mince?
U opravdové mince je poměr nepatrně nevyrovnaný. Velký pokus s více než 350 tisíci skutečnými hody ukázal, že mince asi v 51 % případů dopadne na stranu, která byla nahoře před hodem, protože se ve vzduchu mírně kolébá. V běžném životě na tom nesejde.
Jak funguje náhoda tady, popisuje stránka jak to funguje.